Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取CE的中点G，由三角形的中位线性质证明四边形GFAB为平行四边形，得到AF∥BG，从而证明AF∥平面BCE．
（2）通过证明AF⊥CD，DE⊥AF，从而证明AF⊥平面CDE，再利用BG∥AF证明BG⊥平面CDE，进而证明平面BCE⊥平面CDE．
（3）在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，由平面BCE⊥平面CDE，得 FH⊥平面BCE，故∠FBH为BF和平面BCE所成的角，解Rt△FHB求出∠FBH的正弦值．

解答：（1）证明：取CE的中点G，连FG、BG．
∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=

1

2

DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB=

1

2

DE，∴GF=AB．
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（2）证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．
∵BG?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．
（3）解：在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连BH．
∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE．
∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．
设AD=DE=2AB=2a，则FH=CFsin45°=

2

2

a，BF=

AB2+AF2

=

a2+( 3a )2

=2a，
Rt△FHB中，sin∠FBH=

FH

BF

=

2

4

．
∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为

2

4

．

点评：本题考查证明线面平行的方法，2个平面垂直的方法，求直线与平面成的角的方法，属于中档题．