Question

已知f(x)=

1

3

(2m-1)x3+2mx2-5m2x-1的极值点是-5，1．
（Ⅰ）求实数m的值； 
（Ⅱ）求y=f（x）的递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数极值的定义，先求函数f（x）的导函数，由f'（-5）=f'（1）=0，可得关于m的方程，解出即可；
（Ⅱ）在（1）的条件下f'（x）=x²+4x-5=（x+5）（x-1），解不等式f'（x）＞0，即可得函数f（x）的单调递增区间．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

3

(2m-1)x3+2mx2-5m2x-1，
∴f'（x）=（2m-1）x²+4mx-5m²
由题意，即

25(2m-1)-20m-5m2=0 2m-1+4m-5m2=0

，
解得，m=1．
经验证，当m=1时，f（x）的极值点是-5，1，所以m=1…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）f(x)=

1

3

x3+2x2-5x-1，f'（x）=x²+4x-5=（x+5）（x-1），
解不等式f'（x）＞0得，x＜-5或x＞1，
∴y=f（x）的递增区间是（-∞，-5]，[1，+∞）．…12分．

点评：本题综合考查了导数在函数极值、单调性中的应用，解题时要认真体会导数在研究函数性质方面的积极作用，规范解题．