Question

14．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$．
（Ⅰ）求证：A，B，C三点共线；
（Ⅱ）已知A（1，cosx），B（1+sinx，cosx），x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-（2m²+$\frac{2}{3}$）•|$\overrightarrow{AB}$|的最小值为$\frac{1}{2}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$代入$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$，然后进行向量的数乘运算即可得出$\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，从而得出A，B，C三点共线；
（Ⅱ）由条件即可求出$\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{AB}$的坐标，进而求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$，及$|\overrightarrow{AB}|$的值，代入$f（x）=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}-（2{m}^{2}+\frac{2}{3}）|\overrightarrow{AB}|$并化简即可得出f（x）=-sin²x-2m²sinx+2，而配方即可得出sinx=1时，f（x）取最小值$\frac{1}{2}$，从而得到$-（1+{m}^{2}）^{2}+{m}^{4}+2=\frac{1}{2}$，这样即可解出m的值．

解答 解：（Ⅰ）证明：根据条件：
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
=$\frac{2}{3}（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$
=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{AB}$；
∴A，B，C三点共线；
（Ⅱ）根据条件：$\overrightarrow{OA}=（1，cosx），\overrightarrow{OB}=（1+sinx，cosx）$，$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}（1，cosx）+\frac{2}{3}（1+sinx，cosx）$=$（1+\frac{2}{3}sinx，cosx）$，$\overrightarrow{AB}=（sinx，0）$，且$x∈[0，\frac{π}{2}]$；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=1+\frac{2}{3}sinx+co{s}^{2}x$=$-si{n}^{2}x+\frac{2}{3}sinx+2$，$|\overrightarrow{AB}|=sinx$；
∴$f（x）=-si{n}^{2}x+\frac{2}{3}sinx+2-（2{m}^{2}+\frac{2}{3}）sinx$
=-sin²x-2m²sinx+2
=-（sinx+m²）²+m⁴+2；
又sinx∈[0，1]；
∴sinx=1时，f（x）取最小值$\frac{1}{2}$；
即$-（1+{m}^{2}）^{2}+{m}^{4}+2=\frac{1}{2}$；
∴${m}^{2}=\frac{1}{4}$；
∴$m=±\frac{1}{2}$．

点评 考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，共线向量基本定理，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算，配方法的运用．