Question

【题目】如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上． （Ⅰ）求异面直线D1E与A1D所成的角；
（Ⅱ）若二面角D1﹣EC﹣D的大小为45°，求点B到平面D1EC的距离．

Answer 1

【答案】解：解法一：（Ⅰ）连结AD1 ． 由AA1D1D是正方形知AD1⊥A1D． ∵AB⊥平面AA1D1D，
∴AD1是D1E在平面AA1D1D内的射影．
根据三垂线定理得AD1⊥D1E，
则异面直线D1E与A1D所成的角为90°．
（Ⅱ）作DF⊥CE，垂足为F，连结D1F，则CE⊥D1F．
所以∠DFD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角，∠DFD1=45°．于是 ，
易得 Rt△BCE≌Rt△CDF，所以CE=CD=2，又BC=1，所以 ．
设点B到平面D1EC的距离为h，则由于 ，即f'（x），
因此有CED1Fh=BEBCDD1 ， 即 ，∴ ．
解法二：如图，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）由A1（1，0，1），得 ，
设E（1，a，0），又D1（0，0，1），则 ．
∵ ∴ ，则异面直线D1E与A1D所成的角为90°．
（Ⅱ） =（0，0，1）为面DEC的法向量，设 =（x，y，z）为面CED1的法向量，
则 ，
∴z2=x2+y2 ． ①
由C（0，2，0），得 ，则 ，即 ，∴2y﹣z=0②
由①、②，可取 ，又 ，
所以点B到平面D1EC的距离
【解析】解法一：（Ⅰ）连结AD1 ． 判断AD1是D1E在平面AA1D1D内的射影．得到异面直线D1E与A1D所成的角．（Ⅱ）作DF⊥CE，垂足为F，连结D1F，说明∠DFD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角，∠DFD1=45°．利用等体积法，求点B到平面D1EC的距离．解法二：分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．（Ⅰ）通过向量的数量积为0，即可求异面直线D1E与A1D所成的角；（Ⅱ） =（0，0，1）为面DEC的法向量，设 =（x，y，z）为面CED1的法向量，通过二面角D1﹣EC﹣D的大小为45°，求出x、y、z的关系，结合 ，求出平面的法向量，利用 求点B到平面D1EC的距离．
【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．