Question

如图，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的俯视图是边长为3的正方形，侧视图是长为3宽为的矩形．
（1）求该四棱柱的体积；
（2）取DD₁的中点E，证明：面BCE⊥面ADD₁A₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）可得底面ABCD是矩形，侧面ABB₁A₁与底面垂直，过A₁作底面垂线的垂足是AB的中点，故体积V=S_ABCD×h，代入数据计算可得；（2）连接CD₁，由△CDD₁是正三角形可得CE⊥DD₁，由线面垂直的性质可得AD⊥CE，可判CE⊥面ADD₁A₁，由面面垂直的判定可得结论．
解答：解：（1）由题意可得四棱柱的底面ABCD是矩形，侧面ABB₁A₁与底面垂直，
过A₁作底面垂线的垂足是AB的中点，
所以四棱柱的体积V=S_ABCD×h=AB×AD×h
==…（6分）
（2）连接CD₁，依题意△CDD₁是正三角形，所以CE⊥DD₁，
又AD⊥面CDD₁C₁，CE?面CDD₁C₁，所以AD⊥CE，
因为AD∩DD₁=D，所以CE⊥面ADD₁A₁，
因为CE?面BCE，面BCE⊥面ADD₁A₁…（12分）
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，涉及几何体的体积的求解，属中档题．