Question

18．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：2，母线长10cm．圆台侧面展开是一个$\frac{1}{4}$圆环，求：
（1）圆锥的母线长；
（2）求圆台的表面积和体积．

Answer 1

分析 （1）设圆锥的母线长为l，圆台上、下底半径为r，R．利用三角形相似，求出圆锥的母线长；
（2）结合圆台的表面积和体积公式，可得答案．

解答 解：（1）设圆锥的母线长为l，圆台上、下底半径为r，R．
∵$\frac{l-10}{l}$=$\frac{r}{R}$=$\frac{1}{4}$，
∴l=$\frac{40}{3}$（cm）
（2）由圆台侧面展开是一个$\frac{1}{4}$圆环，
故圆锥的底面半径（圆台的下底半径）R=$\frac{1}{4}$×$\frac{40}{3}$=$\frac{10}{3}$（cm）
圆台的上底半径r=$\frac{5}{3}$（cm），
圆台的表面积S=πr²+πR²+π（r+R）l=17πr²+50πr=$\frac{1175}{9}π$，
圆台的高h=$\sqrt{{l}^{2}-（R-r）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{35}}{3}$，
故圆台的体积V=$\frac{1}{3}$π（r²+rR+R²）h=$\frac{875\sqrt{35}}{81}π$

点评 本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆台的几何特征及圆台的体积表面积公式，是解答的关键．