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    函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．
    （1）求f（0）的值；
    （2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的表达式并用数学归纳法证明你的结论；
    （3）若f（1）≥1，求证：f(
    1
    2n
    )＞0(n∈N*)    ．
    （1）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0?f（0）=0
    （2）f（1）=1，
    f(2)=f(1+1)=1+1+2=4
    f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9
    f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16

    猜想f（n）=n2，下用数学归纳法证明之．
    ①当n=1时猜想成立．
    ②假设n=k时猜想成立，即：f（k）=k2，
    那么f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=k2+2k+1=（k+1）2．
    这就是说n=k+1时猜想也成立．
    对于一切n≥1，n∈N+猜想都成立．
    （3）f（1）≥1，则f(1)=2f(
    1
    2
    )+2×
    1
    2
    ×
    1
    2
    ≥1?f(
    1
    2
    )≥
    1
    4
    ＞0
    假设n=k（k∈N*）时命题成立，即f(
    1
    2k
    )≥
    1
    22k
    ＞0    ，则f(
    1
    2k
    )=2f(
    1
    2k+1
    )+2×
    1
    2k+1
    ×
    1
    2k+1
    ≥
    1
    22k
    ?f(
    1
    2k+1
    )≥
    1
    22(k+1)
    ，
    由上知，则f(
    1
    2n
    )＞0(n∈N*)    ．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足．
    ①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c （c是常数）；
    ②对于D内任意x2，当x2∉[a，b]时总有f（x2）＞c称f（x）为“平底型”函数．
    （1）（理）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
    （文）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
    （2）（理）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），k∈R且k≠0，对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
    （文）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-1|+|t+1|≥f（x），对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
    （3）（理）若F（x）=mx+
    		x2+2x+n
    ，x∈[-2，+∞）是“平底型”函数，求m和n的值；
    （文）若F（x）=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函数，求m和n满足的条件．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    ex
    ex+1
    ．
    （Ⅰ）证明函数y=f（x）的图象关于点（0，
    1
    2
    ）对称；
    （Ⅱ）设y=f-1(x)为y=f(x)的反函数，令g(x)=f-1(
    x+1
    x+2
    )，是否存在实数b    ，使得任给a∈[
    1
    4
    ，
    1
    3
    ]，对任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2    +b恒成立？若存在，求b的取值范围；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数y=f（x），x∈N*，任取m，n∈N*，均有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2成立，且f（1）=1，若p2-tp≤f（x）对任意的p∈[2，3]，x∈[3，+∞）恒成立，则t的最小值为
    -
    2
    3
    -
    2
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c（c是常数）；②对于D内任意x2，当x2∉[a，b]时总有f（x2）＞c；则称f（x）为“平底型”函数．
    （1）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
    （2）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
    （3）若F(x)=mx+
    		x2+2x+n
    ，x∈[-2，+∞)    是“平底型”函数，求m和n的值．

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年上海市十一校高三联考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足．
    ①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c （c是常数）；
    ②对于D内任意x2，当x2∉[a，b]时总有f（x2）＞c称f（x）为“平底型”函数．
    （1）（理）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
    （文）判断f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
    （2）（理）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），k∈R且k≠0，对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
    （文）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-1|+|t+1|≥f（x），对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
    （3）（理）若F（x）=mx+，x∈[-2，+∞）是“平底型”函数，求m和n的值；
    （文）若F（x）=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函数，求m和n满足的条件．

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