Question

已知函数f（x）=

ex

ex+1

．
（Ⅰ）证明函数y=f（x）的图象关于点（0，

1

2

）对称；
（Ⅱ）设y=f-1(x)为y=f(x)的反函数，令g(x)=f-1(

x+1

x+2

)，是否存在实数b，使得任给a∈[

1

4

，

1

3

]，对任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在y=f（x）的图象上任取一点P（x，y），它关于点（0，

1

2

）对称的点为Q（-x，1-y），只需Q在y=f（x）图象上．
（Ⅱ）先求反函数，可得函数g（x），再构建函数F（x）=g（x）-x+ax²，证明函数在(0，

1

2a

-1)上为减函数，在(

1

2a

-1，+∞)上为增函数，从而由有F(x)≥F(

1

2a

-1)，求出右边函数的最小值即可的结论．

解答：解：（Ⅰ）在y=f（x）的图象上任取一点P（x，y），它关于点（0，

1

2

）对称的点为Q（-x，1-y）
由y=

ex

ex+1

及(1-y)-

e-x

e-x+1

=1-

ex

ex+1

-

1

ex+1

=0
立知点Q在y=f（x）图象上．从而由P的任意性可知y=f（x）的图象关于点（0，

1

2

）对称．
（Ⅱ）f-1(x)=ln

x

1-x

(0＜x＜1)．故g（x）=ln（x+1）（x＞-1）
构造函数F(x)=ln(1+x)-x+ax2．F′(x)=

2ax(x+1- 1 2a )

x+1

又x＞0，a∈[

1

4

，

1

3

]
若F′(x)＜0，则x∈(0，

1

2a

-1)．F(x)在(0，

1

2a

-1)上为减函数．
若F′(x)＞0，则x∈(

1

2a

-1，+∞)．F(x)在(

1

2a

-1，+∞)上为增函数．
故当x＞0时，F(x)≥F(

1

2a

-1)=ln

1

2a

-

1

4a

+a
记h(a)=ln

1

2a

-

1

4a

+aa∈[

1

4

，

1

3

]
注意到h′(a)=

1

4

(

1

a

-2)2＞0．故h(a)在a∈[

1

4

，

1

3

]为增函数
故h(a)≥h(

1

4

)=ln2-

3

4

．要使F（x）＞b恒成立，只要F(x)≥h(a)≥h(

1

4

)＞b即可
故b的取值范围是(-∞，ln2-

3

4

)

点评：本题以具体函数为载体，考查函数的对称性，考查函数恒成立问题，有一定的难度．