Question

19．心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样方法抽取50名同学（男30，女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）

	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关？
附表及公式

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d．
（Ⅱ）现从选择做几何题的8名女同学中任意抽取2名同学对他们的答题情况进行全程研究，记丙，丁2名女生被抽到的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表中数据，求出K²=$\frac{50}{9}≈5.556＞5.024$，从而有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关．
（Ⅱ）由题设可知，在选择做几何题的8名女生中任意抽取2名的方法共有28种．其中丙，丁2人没有被抽到的方法有15种，恰有1人被抽到的方法12种，2人都被抽到方法有1种，所以X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由表中数据，得${K^2}=\frac{{50×{{（22×12-8×8）}^2}}}{30×20×30×20}=\frac{50}{9}≈5.556＞5.024$
所以有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关．…（4分）
（Ⅱ）由题设可知，在选择做几何题的8名女生中任意抽取2名的方法共有$C_8^2=28$种．
其中丙，丁2人没有被抽到的方法有$C_6^2=15$种，
恰有1人被抽到的方法$C_2^1C_6^1=12$种，
2人都被抽到方法有1种，所以X的可能取值为0，1，2…（8分）
$P（X=0）=\frac{15}{28}，P（X=1）=\frac{12}{28}，P（X=2）=\frac{1}{28}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{28}$

…（10分）
∴$E（X）=0×\frac{15}{28}+1×\frac{3}{7}+2×\frac{1}{28}=\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．