Question

在数列{a_n}中，S_n是其前n项和，已知a₁=1，a₂=3，且当n≥2时，

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

．
（I）求证：数列{S_n}是等比数列；
（II）记bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求使等式Tn+

3λ

5an+1

=

7

8

成立的n和整数λ的值．

Answer 1

分析：（I）当n≥2时，由已知利用递推公式可得

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

=

1

Sn-Sn-1

-

1

Sn+1-Sn

整理可得，S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2），从而可证
（II）由（I）知，数列S_nS_n=4^n-1进而可得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-2，且a₁=S₁=1
代入可求，bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

=

9×3×4n-2

(3×4n-2+3)(3×4n-1+3)

=

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

又b1=

9a1

(a1+3)(a2+3)

=

3

8

容易求得T_n=b₁+b₂+…+b_n=

7

8

-

1

4n-1+1

，代入所求的式子整理可求 n，λ

解答：解：（I）当n≥2时，

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

=

1

Sn-Sn-1

-

1

Sn+1-Sn

整理可得，S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2）
由S₁=1≠0，S₂=4≠0可知对一切正整数n都有S_n≠0
数列S_n是等比数列
（II）由（I）知数列S_n是首项为1，公比为4的等比数列，S_n=4^n-1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-2，且a₁=S₁=1
故当n≥2时，bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

=

9×3×4n-2

(3×4n-2+3)(3×4n-1+3)

=

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

又b1=

9a1

(a1+3)(a2+3)

=

3

8

当n≥2时，T_n=b₁+b₂+…+b_n=

3

8

+(

1

40+1

-

1

41+1

)+…+ (

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

)
=

7

8

-

1

4n-1+1

若n=1，代入可得λ=

5

2

不是整数，故舍去
若n≥2时，Tn+

3λ

5an+1

=

7

8

⇒

7

8

- 

1

1+4n-1

+

3λ

5×3×4n-1

=

7

8

λ=5-

5

4n-1+1

因为λ是整数
4^n-1+1是5的约数当且仅当n=2时符合条件
此时，λ=4，n=2

点评：本题主要考查了等比数列的证明，利用递推公式求解数列的通项公式及数列的求和，属于综合试题．