Question

5．已知1≤a≤b≤c，证明log_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac．

Answer 1

分析 设log_ab=x，log_bc=y，由对数的换底公式得log_ca=$\frac{1}{xy}$，log_ba=$\frac{1}{x}$，log_cb=$\frac{1}{y}$，log_ac=xy．所要证明的不等式即为x+y+$\frac{1}{xy}$≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+xy，由此能证明log_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac

解答 证明：∵1≤a≤b≤c，
设log_ab=x，log_bc=y，由对数的换底公式得
log_ca=$\frac{1}{xy}$，log_ba=$\frac{1}{x}$，log_cb=$\frac{1}{y}$，log_ac=xy．
∴所要证明的不等式即为：
x+y+$\frac{1}{xy}$≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+xy，其中x=log_ab≥1，y=log_bc≥1．
∴log_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac．

点评 本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意对数性质和换底公式的合理运用．