Question

17．已知函数f（x）=2（sinx+m）²-3．
（1）若m=$\frac{1}{2}$，求f（x）的最小值；
（2）若m=2，求f（x）的最小值；
（3）若m∈R，求f（x）的最小值[用m表示，记为g（m）]；
（4）若f（x）的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）令t=sinx，（-1≤t≤1），即有y=2（t+$\frac{1}{2}$）²-3，求出对称轴，可得t=-$\frac{1}{2}$取得最小值；
（2）令t=sinx，（-1≤t≤1），即有y=2（t+2）²-3，区间[-1，1]为增区间，可得最小值；
（3）令t=sinx，（-1≤t≤1），即有y=2（t+m）²-3，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性可得最小值；
（4）由（3）可得当m≤-1时，2（m+1）²-3=-2，当m≥1时，2（m-1）²-3=-2，解方程可得m的值．

解答 解：（1）函数f（x）=2（sinx+$\frac{1}{2}$）²-3，
令t=sinx，（-1≤t≤1），即有y=2（t+$\frac{1}{2}$）²-3，
当t=-$\frac{1}{2}$∈[-1，1]，函数取得最小值-3；
（2）函数f（x）=2（sinx+2）²-3，
令t=sinx，（-1≤t≤1），即有y=2（t+2）²-3，
当t=-2∉[-1，1]，[-1，1]为增区间，
t=-1时取得最小值-1；
（3）函数f（x）=2（sinx+m）²-3，
令t=sinx，（-1≤t≤1），即有y=2（t+m）²-3，
当-m≤-1即m≥1时，[-1，1]为增区间，t=-1时，取得最小值，
且为2（m-1）²-3；
当-1＜-m＜1即-1＜m＜1时，函数在t=-m，取得最小值-3；
当-m≥1即m≤-1时，[-1，1]为减区间，t=1取得最小值，且为2（1+m）²-3．
则g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{2（m+1）^{2}-3，m≤-1}\\{-3，-1＜m＜1}\\{2（m-1）^{2}-3，m≥1}\end{array}\right.$；
（4）由（3）可得，
当m≤-1时，2（m+1）²-3=-2，解得m=-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去）；
当m≥1时，2（m-1）²-3=-2，解得m=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$或1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去）．
综上可得m=-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和正弦函数的值域，以及分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．