Question

已知函数f（x）=|x³-3x|，则关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有8个不同实数解的充要条件是（　　）

• A．2b+c+4＜0
• B．

  b＜-4 2b+c+4=0

• C．

  c＞0 2b+c+4＜0

• D．

  c＞0 2b+c+4=0

Answer 1

分析：讨论函数f（x）=|x³-3x|当x≥0时的单调性，得它在区间（0，1）、（3，+∞）上是增函数；在区间（1，3）上是减函数．结合函数为偶函数，作出函数y=f（x）的图象，可得图象关于y轴对称，有三个极小值点和两个极大值点．由此可得方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有8个不同实数解时，其一个解满足f（x）=K₁，K₁∈（0，2）；另一个解满足f（x）=K₂，K₂∈（2，+∞）．最后根据一元二次方程根的分布，建立关系式，可得本题的答案．

解答：解：对于函数f（x）=|x³-3x|，讨论x≥0的情况
当0≤x＜3时，f（x）=-x³+3x，得它的导数f'（x）=-3x²+3=-3（x²-1），
∴f'（x）在（0，1）上f'（x）＞0，在（1，3）上f'（x）＜0，
可得函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；在区间（1，3）上是减函数
当x≥3时，f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x²-1），
∴f'（x）＞0在（3，+∞）上恒成立，
得函数f（x）在区间（3，+∞）上是增函数
又∵f（-x）=|-x³+3x|=|x³-3x|=f（x），∴f（x）是R上的偶函数，图象关于y轴对称
作出函数y=f（x）的图象如图，可得它在x=±

3

或x=0时，函数有极小值为0；当x=±1时，函数有极大值为2
因此，当方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有8个不同实数解时，
其一个解满足f（x）=K₁，K₁∈（0，2）；另一个解满足f（x）=K₂，K₂∈（2，+∞）．
即关于t的一元二次方程t²+bt+c=0的一个根大于2，另一个根为小于2的正数
∴

c＞0 22+2b+c＜0

，得

c＞0 2b+c+4＜0

，即为本题所求的充要条件．
故选C

点评：本题根据含有绝对值的三次函数，讨论方程根的个数．着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性和一元二次方程根的分布的讨论等知识点，属于中档题．