Question

已知函数f（x）=[ax²-（a+1）x+1]e^x，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在区间[m，n]（m＞1）使函数f（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=（x²-2x+1）e^x，
∴f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x+1）e^x
=（x²-1）e^x，
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=1，
列表讨论如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴f（x）的极大值是f（-1）=

4

e

；极小值是f（1）=0．

（Ⅱ）由题意得，f′（x）=（2ax-a-1）e^x+[ax²-（a+1）x+1）e^x
=[ax²+（a-1）x-a]e^x，

由f（x）在区间[0，1]上单调递减得，f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，
即ax²+（a-1）x-a≤0在[0，1]上恒成立，

令g（x）=ax²+（a-1）x-a，x∈[0，1]，

①当a=0时，g（x）=-x≤0在[0，1]上恒成立；

②当a＞0时，g（x）=ax²+（a-1）x-a过点（0，-a），

即g（0）=-a＜0，只需g（1）=a+a-1-a=a-1≤0，就满足条件；

解得a≤1，则此时0＜a≤1，

③当a＜0时，同理有g（0）=-a＞0，

∴ax²+（a-1）x-a≤0在[0，1]上不可能恒成立，

综上得，所求的a的取值范围是[0，1]．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=（x²-1）e^x，
假设当x＞1时存在[m，n]使函数f（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，且（n＞m＞1）
∵当x＞1时，f'（x）=（x²-1）e^x＞0，
∴f（x）在区间（1，+∞）上是增函数，

∴

f(m)=m f(n)=n

，即

(m-1)2•em=m (n-1)2•en=n

，
则问题转化为（x-1）²e^x-x=0有两个大于1的不等实根． 
设函数h（x）=（x-1）²e^x-x（x＞1），h′（x）=（x²-1）e^x-1，
令φ（x）=（x²-1）e^x-1，∴φ′（x）=（x²+2x-1）e^x，
当x＞1时，φ′（x）＞0，
∴φ（x）在（1，+∞）上是增函数，即h′（x）在（1，+∞）上是增函数
∴h′（1）=-1＜0，h′（2）=3e²-1＞0
∴存在唯一x₀∈（1，2），使得h′（x₀）=0，
当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：

x	（1，x0）	x0	（x0，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	单调递减	极小值	单调递增

∴h（x）在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
∴h（x₀）＜h（1）=-1＜0
∵h（2）=e²-2＞0
∴当x＞1时，h（x）的图象与x轴有且只有一个交点，
即方程（x-1）²e^x-x=0有且只有一个大于1的根，与假设矛盾，
故当x＞1时，f（x）不存在[m，n]使函数f（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]．