Question

若关于x的不等式（2x-1）²＜ax²的解集中的整数解恰有4个，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：由不等式可知a是大于0的，ax²＞（2x-1）²可变为ax²-（2x-1）²＞0，利用平方差分解因式得（

a

x+2x-1）（

a

x-2x+1）＞0，（

a

x+2x-1）与（

a

x-2x+1）同号得到a的解集，解集中的整数恰有4个，得到a的范围即可．

解答： 解：由题知，a＞0 则
ax²＞（2x-1）²
ax²-（2x-1）²＞0．
（

a

x+2x-1）（

a

x-2x+1）＞0
即[（

a

+2）x-1][（

a

-2）x+1]＞0
由于

a

+2＞0，而不等式的解答中恰有4个整数解，故必有

a

-2＜0，即必有a＜4，
所以不等式可变为[（

a

+2）x-1][（2-

a

）x-1]＜0
解得

1

a +2

＜x＜

1

2- a

，
又

1

2+ a

＜1，结合解集中恰有4个整数可得

1

2- a

＞4且

1

2- a

＜5，
所以有2-

a

＜

1

4

且2-

a

＞

1

5

，解得

49

16

＜a＜

81

25

故答案为：（

49

16

，

81

25

）．

点评：本题考查学生解一元二次不等式的能力，运用一元二次不等式解决数学问题的能力．