Question

已知圆C₁：（x+1）²+y²=1和圆C₂：（x-1）²+y²=25，则与C₁外切而又与C₂内切的动圆圆心P的轨迹方程是

x2

9

+

y2

8

=1

．

Answer 1

分析：由两圆的方程分别找出圆心C₁与C₂的坐标，及两圆的半径r₁与r₂，设圆P的半径为r，根据圆P与C₁外切，得到圆心距PC₁等于两半径相加，即PC₁=r+1，又圆P与C₂内切，得到圆心距PC₂等于两半径相减，即PC₂=5-r，由PC₁+PC₂等于常数2a，C₁C₂等于常数2c，利用椭圆的基本性质求出b的值，可得出圆心P在焦点在x轴上，且长半轴为a，短半轴为b的椭圆上，根据a与b的值写出此椭圆方程即可．

解答：解：由圆C₁：（x+1）²+y²=1和圆C₂：（x-1）²+y²=25，
得到C₁（-1，0），半径r₁=1，C₂（1，0），半径r₂=5，
设圆P的半径为r，
∵圆P与C₁外切而又与C₂内切，
∴PC₁=r+1，PC₂=5-r，
∴PC₁+PC₂=（r+1）+（5-r）=2a=6，又C₁C₂=2c=2，
∴a=3，c=1，
∴b=

a2-c2

=2

2

，
∴圆心P在焦点在x轴上，且长半轴为3，短半轴为2

2

的椭圆上，
则圆心P的轨迹方程为：

x2

9

+

y2

8

=1．
故答案为：

x2

9

+

y2

8

=1

点评：此题考查了圆与圆的位置关系，椭圆的基本性质，以及动点的轨迹方程，两圆的位置关系由圆心角d与两圆半径R，r的关系来判断，当d＜R-r时，两圆内含；当d=R-r时，两圆内切；当R-r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离．