Question

已知函数f（x）=x³-2x²+x-1．
（1）求函数y=f（x）的极值；
（2）求函数f（x）在[0，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求出函数的导数，从而得出函数的单调区间，进而求出函数的极值；
（2）由（1）知，函数在[0，

1

3

）递增，在（

1

3

，1）递减，在（1，2]递增，从而求出函数的最值．

解答： 解：（1）f'（x）=3x²-4x+1，
令 f'（x）=0，解得x₁=

1

3

，x₂=1．                                
列表讨论f（x）、f'（x）的变化情况：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，f（x）的单调递增区间为（-∞，

1

3

）、（1，+∞）；f（x）的单调递减区间为（

1

3

，1）；   
当x=

1

3

时，f（x）的极大值是f（

1

3

）=-

23

27

；
当x=1时，f（x）的极小值是f（1）=3；
（2）由（1）知，函数在[0，

1

3

）递增，在（

1

3

，1）递减，在（1，2]递增，
∴x=0或1时，f（x）取最小值-1，x=2时，f（x）取最大值1．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．