Question

设f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的函数，当m，n∈[-1，0）∪（0，1]，且m+n=0时，有f（m）+f（n）=0．
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）当x∈[-1，0）时，f（x）=2ax+

1

x2

（a为实数）．则当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（3）在（2）的条件下，当a＞-1时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用函数奇偶性的定义判断．（2）利用函数的奇偶性求函数的解析式．（3）利用单调性的定义或导数判断单调性．

解答：解：（1）因为函数的定义域关于原点对称，所以由m+n=0得m=-n，
所以由f（m）+f（n）=0．得f（-n）+f（n）=0，
即f（-n）=-f（n），所以f（-x）=-f（x），
所以f（x）是奇函数．
（2）当x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），则f(-x)=-2ax+

1

x2

，
因为f（x）是奇函数，所以f(-x)=-2ax+

1

x2

=-f(x)，
即f(x)=2ax-

1

x2

，x∈（0，1]．
（3）当a＞-1时，即f(x)=2ax-

1

x2

，x∈（0，1]．
函数导数为f′(x)=2a+

2

x3

，
因为a＞-1，x∈（0，1]．
所以f'（x）＞0，即f（x）在（0，1]上的单调递增．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性以及奇偶性的应用，考查函数的综合性质．