Question

已知，点P满足，记点P的轨迹为E，
（1）求轨迹E的方程；
（2）如果过点Q（0，m）且方向向量为=（1，1）的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当时，求△AOB的面积．

Answer 1

【答案】分析：解：（1）点P满足，得出点P的轨迹是以（，0），（-，0）为焦点的椭圆从而写出点P的轨迹方程即可．
（2）依题意直线AB的方程为y=x+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量垂直的条件可求得m值，最后利用弦长公式结合三角形的面积公式即可解决问题．
解答：解：（1）∵点P满足，
∴
∴点P的轨迹是以（，0），（-，0）为焦点的椭圆，
a=2，c=，b=1，
∴点P的轨迹方程为
（2）依题意直线AB的方程为y=x+m．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
代入椭圆方程，得5x²+8mx+4m²-4=0，（1分）△=64m²-20（4m²-4）＞0，∴m²＜5，
，，
，
因此=，
=，
=．
点评：本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意（2）的处理弦长问题的一般方法，将直线的方程代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得m值，从而解决问题．