Question

设函数f（α）=

(1+cos2α)cos( 3 2 π-α)

2cos(π+α)

+cos2α．
（1）设∠A是△ABC的内角，且为钝角，求f（A）的最小值；
（2）设∠A，∠B是锐角△ABC的内角，且∠A+∠B=

7π

12

，f（A）=1，BC=2，求△ABC的三个内角的大小和AC边的长．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式和二倍角公式对函数解析式整理，进而根据A的范围，利用正弦函数的性质求得函数的最大和最小值．
（2）利用f（A）=1求得A，进而利用∠A+∠B的值求得B，进而根据三角形内角和求得C，最后利用正弦定理求得AC．

解答：解：（1）f（A）=

(cos2A+1)cos( 3 2 π-A)

2cos(π+A)

+cos2A=

cos2AsinA

cosA

+cos2A=

1

2

sin2A+cos2A=

1

2

(sin2A+cos2A+1)=

2

2

sin(2A+

π

4

)+

1

2

．
∵角A为钝角，
∴

π

2

＜A＜π，

5π

4

＜2A+

π

4

＜

9π

4

．
∴当2A+

π

4

=

3π

2

时，f（A）取值最小值，其最小值为

1- 2

2

．

（2）由f（A）=1得

2

2

sin(2A+

π

4

)+

1

2

=1，∴sin(2A+

π

4

)=

2

2

．
∵A为锐角，∴

π

4

＜2A+

π

4

＜

5

4

π，
∴2A+

π

4

=

3π

4

，A=

π

4

．
又∵A+B=

7π

12

，∴B=

π

3

．∴C=

5π

12

．
在△ABC中，由正弦定理得：

BC

sinA

=

AC

sinB

．∴AC=

BCsinB

sinA

=

6

．

点评：本题主要考查了三角函数的最值问题，正弦定理的应用．考查了综合分析问题的能力和基本的运算能力．