Question

如图，已知ABCD是矩形，M、N分别是PC、PD上的点，MN⊥PC，且PA⊥平面ABCD，AN⊥PD，求证：AM⊥PC．

Answer 1

分析：利用线面垂直的判定定理证出CD⊥平面PAD，利用线面垂直的性质得到CD⊥AN，再利用线面垂直的判定定理证出
AN⊥平面PCD，利用线面垂直的性质得到AM⊥PC．

解答：证明：∵ABCD是矩形，
∴CD⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AN?平面PAD，
∴CD⊥AN，
∵AN⊥PD于点N，CD∩PD=D，
∴AN⊥平面PCD，
∴AN⊥PC，
又MN⊥PC交PC于M，
∴PC⊥平面AMN，
∴AM⊥PC．

点评：本题考查线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理，证明线线垂直常利用证明线面垂直，属于中档题．