Question

设max{sinx，cosx}表示sinx与cosx中的较大者，若函数f（x）=max{sinx，cosx}，给出下列四个结论：①当且仅当x=2kπ+π（k∈Z）时，f（x）取得最小值；②f（x）是周期函数；③f（x）的值域是[-1，1]；④当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

(k∈Z)时，f（x）＜0； ⑤f（x）以直线x=kπ+

π

4

(k∈Z)为对称轴，则其中正确结论的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：作出函数在一个周期上的图象，观察函数的图象，分别求解函数的周期，最值及取得最值的条件分别进行验证即可．

解答：解：作出正弦函数y=sinx与y=cosx在一个周期上的图象如下图，取函数的最大值，即为函数f（x）=max{sinx，cosx}，
观察图象可知，当且仅当x=2kπ+

5

4

π（k∈Z）时，f（x）取得最小值，故①不正确；
函数以2π为周期的周期函数，故②正确
观察函数的图象可得函数的最小值为-

2

2

，故③错误
当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

(k∈Z)时，f（x）＜0，故④正确
f（x）的对称轴为x=2kπ+

5π

4

(k∈Z)或x=2kπ+

9π

4

(k∈Z)，即x=kπ+

π

4

(k∈Z)，⑤正确
故正确的结论为：②④⑤
故选C．

点评：本题考查新定义，考查正弦函数与余弦函数的图象，三角函数的性质的应用，考查了识别图象的能力及由图象研究函数的性质．解题的关键是要由题中的定义找出函数所对应的图象，结合图象求解函数的性质，体会数形结合思想的应用．