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设max{sinx,cosx}表示sinx与cosx中的较大者.若函数f(x)=max{sinx,cosx},给出下列五个结论:
①当且仅当x=2kπ+π(π∈Z)时,f(x)取得最小值;
②f(x)是周期函数;
③f(x)的值域是[-1,1];
④当且仅当<x<2kx+(k∈Z)时,f(x)<0;
⑤f(x)以直线x=kx+(k∈Z)为对称轴.
其中正确结论的序号为   
【答案】分析:先作出函数在一个周期上的图象,观察函数的图象得出相应的结论.
①观察图象的最低点,求出最小值.
②结合图象观察图象的重复性,进而判断周期性.
③利用函数的最大值与最小值,确定函数的值域.
④解不等式f(x)<0,得对应的解集.
⑤观察图象,利用推理得出函数的对称轴.
解答:
解:由定义可知,当sinx≥cosx时,解得

.当sinx<cosx时,解得
作出正弦函数y=sinx与y=cosx在一个周期上的图象如下图:取函数的最大值,即为函数f(x)=max{sinx,cosx},
A.由图象可知,当x=2kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最小值,所以①错误.

②函数以2π为周期的周期函数,所以②正确.
③由①知函数的最小值为-,所以f(x)的值域是[,1],所以③错误.
④由f(x)<0,解得2kπ+π<x<2kπ+(k∈Z),所以④正确.
⑤f(x)的对称轴为x=2kπ+或x=2kπ+,即x=kx+(k∈Z),所以⑤正确.
正确结论的序号为②④⑤.
故答案为:②④⑤.
点评:本题考查三角函数的图象和性质,考查学生理解信息的能力,利用数学结合是解决本题的关键.
练习册系列答案
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①当且仅当x=2kπ+π(π∈Z)时,f(x)取得最小值;
②f(x)是周期函数;
③f(x)的值域是[-1,1];
④当且仅当<x<2kx+
2
(k∈Z)时,f(x)<0;
⑤f(x)以直线x=kx+
π
4
(k∈Z)为对称轴.
其中正确结论的序号为
②④⑤
②④⑤

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2
(k∈Z)
时,f(x)<0; ⑤f(x)以直线x=kπ+
π
4
(k∈Z)
为对称轴,则其中正确结论的个数是(  )

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

设max{sinx,cosx}表示sinx与cosx中的较大者.若函数f(x)=max{sinx,cosx},给出下列五个结论:
①当且仅当x=2kπ+π(π∈Z)时,f(x)取得最小值;
②f(x)是周期函数;
③f(x)的值域是[-1,1];
④当且仅当<x<2kx+
2
(k∈Z)时,f(x)<0;
⑤f(x)以直线x=kx+
π
4
(k∈Z)为对称轴.
其中正确结论的序号为______.

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设max{sinx,cosx}表示sinx与cosx中的较大者,若函数f(x)=max{sinx,cosx},给出下列四个结论:①当且仅当x=2kπ+π(k∈Z)时,f(x)取得最小值;②f(x)是周期函数;③f(x)的值域是[-1,1];④当且仅当时,f(x)<0; ⑤f(x)以直线为对称轴,则其中正确结论的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

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