Question

（2007•广州一模）如图，已知曲线C₁：y=x²与曲线C₂：y=-x²+2ax（a＞1）交于点O，A，直线x=t（0＜t≤1）与曲线C₁，C₂分别相交于点D，B，连结OD，DA，AB，OB．
（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式S=f（t）；
（2）求函数S=f（t）在区间（0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积，即可求得函数关系式S=f（t）；
（2）由（1）确定了函数及其导数的解析式，解不等式f'（x）＞0与f'（x）＜0，可求出函数的单调区间，对字母a进行分类讨论，根据函数的单调性求出函数f（x）在区间（0，1]上的最大值．

解答：解析（1）由　

y=x2 y=-x2+2ax

解得

x=0 y=0

或

x=a y=a2

．
∴O（0，0），A（a，a²）．又由已知得B（t，-t²+2at），D（t，t²），
∴S=

∫

t 0

（-x²+2ax）dx-

1

2

t×t²+

1

2

（-t²+2at-t²）×（a-t）
=（-

1

3

x³+ax²）|

t 0

-

1

2

t³+（-t²+at）×（a-t）=-

1

3

t³+at²-

1

2

t³+t³-2at²+a²t=

1

6

t³-at²+a²t．
∴S=f（t）=

1

6

t³-at²+a²t（0＜t≤1）．
（2）f′（t）=

1

2

t²-2at+a²，令f′（t）=0，即

1

2

t²-2at+a²=0．解得t=（2-

2

）a或t=（2+

2

）a．
∵0＜t≤1，a＞1，∴t=（2+

2

）a应舍去．
若（2-

2

）a≥1，即a≥

1

2- 2

=

2+ 2

2

时，
∵0＜t≤1，∴f′（t）≥0．
∴f（t）在区间（0，1]上单调递增，S的最大值是f（1）=a²-a+

1

6

．
若（2-

2

）a＜1，即1＜a＜

2+ 2

2

时，当0＜t＜（2-

2

）a时f′（t）＞0．当（2-

2

）a＜t≤1时，f′（t）＜0．
∴f（t）在区间（0，（2-

2

）a]上单调递增，在区间（（2-

2

）a，1]上单调递减．
∴f（t）的最大值是f（（2-

2

）a）=

1

6

[（2-

2

）a]³-a[（2-

2

）a]²+a²（2-

2

）a=

2 2 -2

3

a³．

点评：本题考查利用定积分求面积，考查导数在最大值、最小值问题中的应用，以及学生灵活转化题目条件的能力，属于中档题．