Question

（2013•江苏）设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=e^x-ax，其中a为实数．
（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；
（2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）求导数，利用f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，转化为

1

x

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；
（2）先确定a的范围，再分类讨论，确定f（x）的单调性，从而可得f（x）的零点个数．

解答：解：（1）求导数可得f′（x）=

1

x

-a
∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴

1

x

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥

1

x

，x∈（1，+∞）．
∴a≥1．
g′（x）=e^x-a，
若1≤a≤e，则g′（x）=e^x-a≥0在（1，+∞）上恒成立，
此时，g（x）=e^x-ax在（1，+∞）上是单调增函数，无最小值，不合；
若a＞e，则g（x）=e^x-ax在（1，lna）上是单调减函数，在（lna，+∞）上是单调增函数，g_min（x）=g（lna），满足．
故a的取值范围为：a＞e．
（2）g′（x）=e^x-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，则a≤e^x在（-1，+∞）上恒成立，
∴a≤

1

e

f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

（x＞0）
①0＜a≤

1

e

，令f′（x）＞0得增区间（0，

1

a

）；令f′（x）＜0得减区间（

1

a

，+∞），
当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→-∞
∴当x=

1

a

时，f（

1

a

）=-lna-1≥0，当且仅当a=

1

e

时取等号
∴当a=

1

e

时，f（x）有1个零点；当0＜a＜

1

e

时，f（x）有2个零点；
②a=0时，则f（x）=-lnx，∴f（x）有1个零点；
③a＜0时，f′(x)=

1

x

-a≥0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）=lnx-ax在（0，+∞）上是单调增函数
当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→+∞
∴f（x）有1个零点
综上所述，当a=

1

e

或a≤0时，f（x）有1个零点；当0＜a＜

1

e

时，f（x）有2个零点．

点评：此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．