Question

(本小题满分12分)

如图，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，点E、M分别为A₁B、C₁C的中点，过点A₁，B，M三点的平面A₁BMN交C₁D₁于点N.
（Ⅰ）求证：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；
（Ⅱ）求二面角B—A₁N—B₁的正切值.

Answer 1

（Ⅱ）

（Ⅰ）证明：取A₁B₁的中点F，连EF，C₁F  ∵E为A₁B中点  ∴EF∥BB₁    又∵M为CC₁中点∴EF∥ C₁M∴四边形EFC₁M为平行四边形 ∴EM∥FC₁ 

而EM 平面A₁B₁C₁D₁ . FC₁平面A₁B₁C₁D₁ .
∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁………………6分  
（Ⅱ）由⑴EM∥平面A₁B₁C₁D₁ 
EM平面A₁BMN，平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N  
∴A₁N// EM// FC₁  ∴N为C₁D₁中点，过B₁作B₁H⊥A₁N于H，连BH，根据三垂线定理  BH⊥A₁N
∠BHB₁即为二面角B—A₁N—B₁的平面角……8分
设AA₁=a，则AB=2a， ∵A₁B₁C₁D₁为正方形               
∴A₁H=   又∵△A₁B₁H∽△NA₁D₁
∴B₁H=，在Rt△BB₁H中，
tan∠BHB₁=即二面角B—A₁N—B₁的正切值为……12分