Question

（2012•台州模拟）已知数列{a_n}满足递推式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₄=15．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知数列{b_n}有bn=

n

an+1

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）由已知中a_n=2a_n-1+1（n≥2），两边同加一，易得数列{a_n+1}是等比数列，结合a₄=15，求出数列{a_n+1}的首项，进而可求数列{a_n+1}的通项公式，进而可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据数列{b_n}中bn=

n

an+1

是等差数列的等比数列相乘的形式，故采用错位相减法可求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵当n≥2时，a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
即数列{a_n+1}是一个公比为2的等比数列
又∵a₄+1=16，故a₁+1=2
故a_n+1=2ⁿ，故a_n=2ⁿ-1
（2）∵bn=

n

an+1

=

n

2n

∴S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

…①
∴

1

2

S_n=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

…②
①-②得

1

2

S_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

∴S_n=2-

n+2

2n

点评：本题考查的知识点是数列的求和，等比数列的通项公式，其中（I）的关键是将已知两边同加一，进而判断出数列{a_n+1}的公比，而（II）的关键是分析数列的通项公式，选择适当的方法求和．