Question

点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离．已知点A（0，3），曲线C：x²+6y+y²=0，那么平面内到曲线C的距离与到点A的距离之差的绝对值为3的点的轨迹是（　　）

A．一条直线，一条射线，一条线段

B．二条射线

C．一条直线，一条线段

D．一条直线，一条射线

Answer 1

分析：由题意，曲线C的圆心坐标为（0，-3），半径为3，则平面内P到曲线C的距离为||PC|-3|，根据平面内到曲线C的距离与到点A的距离之差的绝对值为3，即||PC|-3|-|PA||=3，再分类讨论，即可求得结论．

解答：解：由题意，曲线C的圆心坐标为（0，-3），半径为3，则平面内P到曲线C的距离为||PC|-3|，
∴平面内到曲线C的距离与到点A的距离之差的绝对值为3，即||PC|-3|-|PA||=3
∴点P在圆内时，|PC|+|PA|=3，此时点的轨迹为一条线段；
点P在圆上时，|PC|=|PA|=3，此时点的轨迹为AC的垂直平分线；
点P在圆外时，|PC|-|PA|=6，此时点的轨迹为一条射线；
故选A．

点评：本题考查轨迹方程，考查新定义，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．