Question

已知．
（1）化简f（α）；
（2）若，求f（α）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把f（α）解析式中分子的第一个因式利用正弦函数为奇函数化简后，再利用诱导公式变形，第二个因式中的角-α变为为π+-α，利用诱导公式变形，第三个因式利用诱导公式变形，分母第一个因式根据正切函数为奇函数化简，然后利用诱导公式变形，第二个因式先利用正弦函数为奇函数，再把角3π-α变形为2π+π-α，利用诱导公式变形，约分后即可得到最简结果；
（2）把已知式子中的角提取-1后，变为π+（-α），利用诱导公式及正切函数为奇函数化简，得到tan（-α）的值，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，并利用诱导公式化简，得到sinα和cosα的关系式，记作①，同时得到sinα和cosα同号，即α为第一或第三象限的角，根据同角三角函数间的平方关系得到sin²α+cos²α=1，记作②，联立①②，求出cosα的值，代入化简后的f（α）的式子中，即可求出f（α）的值．
解答：解：（1）f（α）=…（2分）
=
=
=
=-cosα；…（4分）
（2）∵，
∴-tan（-α）=-tan（-α）=-tan（-α）=-2，
∴，
∴，
即①，…（6分）
可见sinα与cosα同号，α为第一或第三象限角，
又sin²α+cos²α=1②，…（8分）
联立①②可得：，
当α为第一象限角时，f（α）=-cosα=；…（10分）
当α为第三象限角时，f（α）=-cosα=．…（12分）
点评：此题考查了诱导公式，同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦及正切函数的奇偶性，熟练掌握基本关系及诱导公式是解本题的关键，同时注意利用sinα与cosα同号，判断出α为第一或第三象限角．