Question

已知函数f（x）=，其中a∈R．若对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，则k的取值范围是________．

Answer 1

（-∝，0]∪[8，+∝）
分析：由于函数f（x）是分段函数，且对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，得到x=0时，f（x）=k（1-a²），进而得到，关于a的方程（3-a）²=k（1-a²）有实数解，即得△≥0，解出k即可．
解答：由于函数f（x）=，其中a∈R，
则x=0时，f（x）=k（1-a²），
又由对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立
∴函数必须为连续函数，即在x=0附近的左右两侧函数值相等，
∴（3-a）²=k（1-a²）即（k+1）a²-6a+9-k=0有实数解，
所以△=6²-4（k+1）（9-k）≥0，解得k≤0或k≥8
故答案为 （-∞，0]∪[8，+∞）．
点评：本题考查了二次函数的性质，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观．