Question

4．已知命题“?a＞b＞c，$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}≥\frac{t}{a-c}$”是真命题，记t的最大值为m，命题“?n∈R，$|{n+sinγ}|-|{n-cosγ}|＜{m^{\frac{1}{4}}}$”是假命题，其中$γ∈（0，\frac{π}{2}）$．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求n的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）问题转化为$t≤{[（a-c）•（\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}）]_{min}}$，利用基本不等式的性质求出即可；
（Ⅱ）问题转化为?n∈R，$|{n+sinγ}|-|{n-cosγ}|≥\sqrt{2}$”是真命题，根据三角函数以及绝对值的意义求出n的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）因为“?a＞b＞c，$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}≥\frac{t}{a-c}$”是真命题，
所以?a＞b＞c，$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}≥\frac{t}{a-c}$恒成立，
又a＞b＞c，所以$t≤（a-c）•（\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}）$恒成立，
所以，$t≤{[（a-c）•（\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}）]_{min}}$．…（3分）
又因为$（a-c）•（\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}）=（a-b+b-c）•（\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}）$=$2+\frac{b-c}{a-b}+\frac{a-b}{b-c}≥4$，
“=”成立当且仅当b-c=a-b时．
因此，t≤4，于是m=4．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“?n∈R，$|{n+sinγ}|-|{n-cosγ}|＜{m^{\frac{1}{4}}}$”是假命题，
所以“?n∈R，$|{n+sinγ}|-|{n-cosγ}|≥\sqrt{2}$”是真命题．…（7分）
因为|n+sinγ|-|n-cosγ|=|n+sinγ|-|cosγ-n|≤|sinγ+cosγ|$≤\sqrt{2}$（$γ∈（0，\frac{π}{2}）$），
因此，$|{n+sinγ}|-|{n-cosγ}|=\sqrt{2}$，此时$|{sinγ+cosγ}|=\sqrt{2}$，即$γ=\frac{π}{4}$时．…（8分）
∴$|{n+\frac{{\sqrt{2}}}{2}}|-|{n-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}|=\sqrt{2}$，
由绝对值的意义可知，$n≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（10分）

点评 本题考察了基本不等式的性质，考察三角函数问题以及绝对值的意义，考察转化思想，是一道中档题．