Question

17．函数f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$，g（x）=f（x-1）+1，a_n=g（$\frac{1}{n}$）+g（$\frac{2}{n}$）+g（$\frac{3}{n}$）+…+g（$\frac{2n-1}{n}$），n∈N^*，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}是等差数列，且b_n=$\frac{2{S}_{n}-n}{n+c}$，求非零常数c；
（3）设c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，若数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n$＞\frac{k}{57}$对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$=-f（x），可知f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$为奇函数，g（x）+g（2-x）=f（x-1）+f（1-x）+2，即g（x）+g（2-x）=2，由a_n=g（$\frac{1}{n}$）+g（$\frac{2}{n}$）+g（$\frac{3}{n}$）+…+g（$\frac{2n-1}{n}$），采用倒叙相加法，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=$\frac{2{S}_{n}-n}{n+c}$，则b₁=$\frac{1}{1+c}$，b₂=$\frac{6}{2+c}$，b₃=$\frac{15}{3+c}$，由等差数列的性质2b₂=b₁+b₃，即可求得常数c；
（3）由（1）可知c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），采用“裂项法”即可求得T_n=$\frac{n}{2n+1}$，由$\frac{k}{57}$＜（T_n）_min=$\frac{1}{3}$，即可求得k的取值范围，求得对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

解答 解：（1）由f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$=-f（x），
函数f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$为奇函数，
g（x）+g（2-x）=f（x-1）+1+f（2-x+1）+1=f（x-1）+f（1-x）+2，
由f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$为奇函数，
f（x-1）+f（1-x）=0
∴g（x）+g（2-x）=2，
∵a_n=g（$\frac{1}{n}$）+g（$\frac{2}{n}$）+g（$\frac{3}{n}$）+…+g（$\frac{2n-1}{n}$），n∈N^*，①
a_n=g（$\frac{2n-1}{n}$）+g（$\frac{2n-2}{n}$）+g（$\frac{2n-3}{n}$）+…+g（$\frac{1}{n}$），n∈N^*，②
①+②得2a_n=[g（$\frac{1}{n}$）+g（$\frac{2n-1}{n}$）]+[g（$\frac{2}{n}$）+g（$\frac{2n-2}{n}$）]+…+[g（$\frac{2n-1}{n}$）+g（$\frac{1}{n}$）]=$\underset{\underbrace{2n-1}}{2+2+2+…+2}$=2（2n-1），
∴a_n=2n-1；
（2）b_n=$\frac{2{S}_{n}-n}{n+c}$，则b₁=$\frac{1}{1+c}$，b₂=$\frac{6}{2+c}$，b₃=$\frac{15}{3+c}$，
由题意得：2b₂=b₁+b₃，
∴c=-$\frac{1}{2}$；
（3）c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴数列{c_n}的前n项和为T_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n，
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]，
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$，
∴$\frac{n}{2n+1}$＞$\frac{k}{57}$，对一切n∈N^*都成立
∴$\frac{k}{57}$＜（T_n）_min=$\frac{1}{3}$，则k＜19，
∴k_max=18，
使不等式T_n$＞\frac{k}{57}$对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值18．

点评 本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查函数的奇偶性，考查利用“错位相减法”，“倒叙相加法”求数列的前n项和及通项公式，考查计算能力，属于中档题．