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若数列{an}满足对任意的n有:Sn=,试问该数列是怎样的数列?并证明你的结论.
【答案】分析:先根据Sn=可得到an+1=Sn+1-Sn、an=Sn-Sn-1(n≥2),然后二式相减并代入关系式Sn=可得到2(an+1-an)=(n+1)an+1+(n-1)an-1-2nan(n≥2)整理可得到2an=an+1+an-1(n≥2),最后根据等差数列的性质可得证.
解答:解:an+1=Sn+1-Sn
an=Sn-Sn-1(n≥2)②
①-②得
an+1-an=Sn+1+Sn-1-2Sn
=+-n(a1+an
=[(n+1)an+1+(n-1)an-1-2nan]
可得2(an+1-an)=(n+1)an+1+(n-1)an-1-2nan(n≥2)
整理可得2(n-1)an=(n-1)an+1+(n-1)an-1(n≥2)
即2an=an+1+an-1(n≥2)
根据等差数列的特性可知:此数列为等差数列
点评:本题主要考查等差数列的证明,考查等差数列的性质,属基础题.
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若数列{an}满足对任意的n有:Sn=
n(a1+an)2
,试问该数列是怎样的数列?并证明你的结论.

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(2)已知L型数列{an}满足a1=1,a2=3,an+1-4an+4an-1=0(n≥2,n∈N*),证明:数列{an+1-2an}是等比数列,并进一步求出{an}的通项公式an

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2
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