Question

（2009•黄浦区二模）若数列{a_n}满足a_n+2+pa_n+1+qa_n=0（其中p²+q²≠0，且p、q为常数）对任意n∈N^*都成立，则我们把数列{a_n}称为“L型数列”．
（1）试问等差数列{a_n}、等比数列{b_n}（公比为r）是否为L型数列？若是，写出对应p、q的值；若不是，说明理由．
（2）已知L型数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+1-4a_n+4a_n-1=0（n≥2，n∈N^*），证明：数列{a_n+1-2a_n}是等比数列，并进一步求出{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析：（1）等差数列{a_n}、等比数列{b_n}（n∈N^*）都是L型数列，然后分别找出符合题意的p和q即可．
（2）将a_n+1-4a_n+4a_n-1=0（n≥2，n∈N^*）化成a_n+1-2a_n=2a_n-4a_n-1=2（a_n-2a_n-1），根据等比数列的定义进行判定即可，然后求出新数列的通项，在等式两侧同除以2ⁿ，可得{

an

2n

}是以

a1

2

为首项，公差为

1

4

的等差数列，求出通项即可求出a_n．

解答：解：（1）答：等差数列{a_n}、等比数列{b_n}（n∈N^*）都是L型数列．
理由　当数列{a_n}（n∈N^*）是等差数列时，有a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，（1分）
即a_n+2-2a_n+1+a_n=0，且相应的p=-2，q=1．                         （3分）
所以等差数列{a_n}（n∈N^*）是L型数列．　　　　　　　　　　　　　　 （4分）
同样，当数列{b_n}（n∈N^*）是等比数列时，有b_n+2=rb_n+1（r为公比），（5分）
即b_n+2-rb_n+1+0•b_n=0，且相应的p=-r，q=0．     　               （7分）
所以等比数列{b_n}（n∈N^*）是L型数列．　　　　　　　　　　　　　    （8分）
证明　（2）∵a_n+1-4a_n+4a_n-1=0（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+1-2a_n=2a_n-4a_n-1
=2（a_n-2a_n-1）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（10分）
又a₂-2a₁=3-2=1（≠0），
∴数列{a_n+1-2a_n}（n∈N^*）是以（a₂-2a₁）为首项，公比为2的等比数列．　　（12分）
于是，a_n-2a_n-1=（a₂-2a₁）•2^n-2，即a_n-2a_n-1=2^n-2（n≥2，n∈N^*）．
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

4

(n≥2，n∈N*)．因此，{

an

2n

}是以

a1

2

为首项，公差为

1

4

的等差数列．（14分）
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)•

1

4

，an=

1

2

•2n+

1

4

(n-1)•2n=

1

4

(n+1)•2n(n∈N*)
所以数列{a_n}的通项公式an=

1

4

(n+1)•2n(n∈N*)．　　　　　　　　　（16分）

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合，同时考查了数列的通项公式，构造新数列是常用的方法，属于中档题．