Question

已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足4cosC+cos2C=4cosCcos²

C

2

．
（Ⅰ）求∠C的大小；
（Ⅱ）若|

CA

-

1

2

CB

|=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）运用二倍角公式化简，结合特殊角的三角函数值，即可得到C；
（Ⅱ）运用向量的平方即为模的平方，和向量的数量积的定义，结合重要不等式，求得ab的最大值为8，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答： 解：（Ⅰ）4cosC+cos2C=4cosCcos²

C

2

，
即有4cosC+2cos²C-1=2cosC（1+cosC），
则有cosC=

1

2

，
由C为三角形的内角，则C=

π

3

；
（Ⅱ）|

CA

-

1

2

CB

|=2，即有（

CA

-

1

2

CB

）²=4，
即

CA

2-

CA

•

CB

+

1

4

CB

2=4，
即有b²+

1

4

a²-

1

2

ba=4，
由于b²+

1

4

a²≥2b•

1

2

a=ab，
则有4+

1

2

ab≥ab，即ab≤8．
当且仅当b=

1

2

a时，取得等号．
则△ABC的面积S=

1

2

absinC≤

1

2

×8×

3

2

=2

3

．
则三角形ABC的面积的最大值为2

3

．

点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的面积公式，以及三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．