Question

如果x＞0，y＞0，且x+y=1，求z=（x+

1

x

）（y+

1

y

）的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：综合题,解三角形

分析：利用x+y=1，化简z=（x+

1

x

）（y+

1

y

），再利用基本不等式，即可求出z=（x+

1

x

）（y+

1

y

）的最小值．

解答： 解：z=（x+

1

x

）（y+

1

y

）=xy+

x2+y2

xy

+

1

xy

=xy+

2

xy

-2，
∵x＞0，y＞0，且x+y=1，∴xy≤

1

4

，
令t=xy，则z=t+

2

t

-2，函数在（0，

1

4

]上单调递减，
∴t=

1

4

时，z=（x+

1

x

）（y+

1

y

）的最小值为

25

4

．

点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．