Question

斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，侧面AA₁C₁C是菱形，∠A₁AC=60°，AC=3，AB=BC=2，E、F分别是A₁C₁，AB的中点．
（1）求证：EF∥平面BB₁C₁C；
（2）求证：CE⊥面ABC．
（3）求四棱锥E-BCC₁B₁的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过作平行线，由线线平行证明线面平行即可；
（2）根据面面垂直，只需证明CE垂直于交线即可；
（3）根据底面积相等，同高的棱锥体积相等，将四棱锥分割为两个体积相等的三棱锥，再根据体积公式求三棱锥的体积即可．
解答：（1）证明：取BC中点M，连结FM，C₁M．在△ABC中，
∵F，M分别为BA，BC的中点，
∴FM∥AC，FM=AC．
∵E为A₁C₁的中点，AC∥A₁C₁
∴FM∥EC₁且FM=EC₁，
∴四边形EFMC₁为平行四边形∴EF∥C₁M．
∵C₁M?平面BB₁C₁C，EF?平面BB₁C₁C，∴EF∥平面BB₁C₁C．
（2）证明：连接A₁C，∵四边形AA₁C₁C是菱形，∠A₁AC=60°
∴△A₁C₁C为等边三角形
∵E是A₁C₁的中点．∴CE⊥A₁C₁
∵四边形AA₁C₁C是菱形，∴A₁C₁∥AC．∴CE⊥AC．
∵侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，且交线为AC，CE?面AA₁C₁C
∴CE⊥面ABC
（3）连接B₁C，∵四边形BCC₁B₁是平行四边形，所以四棱锥=
由第（2）小问的证明过程可知 EC⊥面ABC
∵斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∴面ABC∥面A₁B₁C₁．∴EC⊥面EB₁C₁
∵在直角△CEC₁中CC₁=3，，∴
∴
∴四棱锥==2×
点评：本题考查线面平行的判定、线面垂直的判定及棱锥的体积．