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    已知有穷数列A：a1，a2，…，an，（n≥2）．若数列A中各项都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，则称该数列为数列．对于数列A，定义如下操作过程T：从A中任取两项ai，aj，将
    ai+aj
    1+aiaj
    的值添在A的最后，然后删除ai，aj，这样得到一个n-1项的新数列A1（约定：一个数也视作数列）．若A1还是数列，可继续实施操作过程T，得到的新数列记作A2，…，如此经过k次操作后得到的新数列记作Ak．
    （Ⅰ）设A：0，
    1
    2
    ，
    1
    3
    …请写出A1的所有可能的结果；
    （Ⅱ）求证：对于一个n项的数列A操作T总可以进行n-1次；
    （Ⅲ）设A：-
    5
    7
    ，-
    1
    6
    ，-
    1
    5
    ，-
    1
    4
    ，
    5
    6
    ，
    1
    2
    ，
    1
    3
    ，
    1
    4
    ，
    1
    5
    ，
    1
    6
    …求A9的可能结果，并说明理由．
    分析：（Ⅰ）直接按定义来操作，每次取两个数代入计算即可求出A1的所有可能的结果；
    （Ⅱ）先通过作差得到每次操作后新数列仍是T数列；再根据每次操作中都是增加一项，删除两项即可得到结论；
    （Ⅲ）先定义运算：a⊙b=
    a+b
    1+ab
    ，并证明这种运算满足交换律和结合律；再结合（Ⅱ）可知A9中仅有一项，再按定义先求出A5，综合即可得到A9的可能结果．
    解答：解：（Ⅰ）直接按定义来操作，当取0，
    1
    2
    时代入计算可得：A1；
    1
    3
    ，
    1
    2
    ；
    当取0，
    1
    3
    时可得A1：
    1
    2
    ，
    1
    3
    ；
    当取
    1
    2
    ，
    1
    3
    时，可得A1：0，
    5
    7
    ．
    故有如下的三种可能结果：A1；
    1
    3
    ，
    1
    2
    ；A1：
    1
    2
    ，
    1
    3
    ；A1：0，
    5
    7
    ．…（3分）
    （Ⅱ）因为对?a，b∈{x|-1＜x＜1}，有
    a+b
    1+ab
    -1=
    -(a-1)(b-1)
    1+ab
    ＜    0且
    a+b
    1+ab
    -(-1)=
    (a+1)(b+1)
    1+ab
    ＞    0
    所以
    a+b
    1+ab
    ∈    {x|-1＜x＜1}，
    即每次操作后新数列仍是T数列．
    又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，
    所以对T数列A每操作一次，项数就减少一项，
    所以对n项的T数列A可进行（n-1）次操作（最后只剩下一项）…（7分）
    （Ⅲ）由（Ⅱ）可知A9中仅有一项．
    对于满足a，b∈{x|-1＜x＜1}的实数a，b定义运算：a⊙b=
    a+b
    1+ab
    ，
    下面证明这种运算满足交换律和结合律．
    因为a⊙b=
    a+b
    1+ab
    ，且b⊙a=
    b+a
    1+ba
    ，所以a⊙b=b⊙a，即该运算满足交换律；
    因为a⊙（b⊙c）=a⊙
    b+c
    1+bc
    =
    a+
    b+c
    1+bc
    1+a•
    b+c
    1+bc
    =
    a+b+c+abc
    1+ab+bc+ac

    且（a⊙b）⊙c=
    a+b
    1+ab
    c=
    a+b
    1+ab
    +c
    1+
    a+b
    1+ab
    •c
    =
    a+b+c+abc
    1+ab+ac+bc

    所以a⊙（b⊙c）=（a⊙b）⊙c，即该运算满足结合律．
    所以A9中的项与实施的具体操作过程无关   …．…．（12分）
    选择如下操作过程求A9：
    由（Ⅰ）可知
    1
    2
    ⊙
    1
    3
    =
    5
    7
    ；
    易知-
    5
    7
    ⊙
    5
    7
    =0，-
    1
    4
    ⊙
    1
    4
    =0，-
    1
    5
    ⊙
    1
    5
    =0，-
    1
    6
    ⊙
    1
    6
    =0；
    所以A5：
    5
    6
    ，0，0，0，0．；
    易知A5经过4次操作后剩下一项为
    5
    6
    ．
    综上可知：A9：
    5
    6
    ．…（14分）
    点评：本题是一道综合性很强的题，解题时要认真审题，理解定义，并会用新定义来解题，仔细解答，避免错误．
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    ai+aj
    1+aiaj
    的值添在A的最后，然后删除ai，aj，这样得到一系列n-1项的新数列A1 （约定：一个数也视作数列）；对A1的所有可能结果重复操作过程T又得到一系列n-2项的新数列A2，如此经过k次操作后得到的新数列记作Ak．设A：-
    5
    7
    ，
    3
    4
    ，
    1
    2
    ，
    1
    3
    ，则A3的可能结果是（　　）
    A、0
    B、
    3
    4
    C、
    1
    3
    D、
    1
    2

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    （Ⅰ）设A：0，，请写出A1的所有可能的结果；
    （Ⅱ）求证：对于一个n项的Γ数列A操作T总可以进行n-1次；
    （Ⅲ）设A：，求A9的可能结果，并说明理由.

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    （Ⅰ）设A：0，，…请写出A1的所有可能的结果；
    （Ⅱ）求证：对于一个n项的数列A操作T总可以进行n-1次；
    （Ⅲ）设A：-，-，-，-，，，，，，…求A9的可能结果，并说明理由．

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    A．0
    B．
    C．
    D．

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