Question

如图，△PAD为等边三角形，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2，E、F、G分别为PA、BC、PD中点，．
（Ⅰ）求证：AG⊥EF
（Ⅱ）求多面体P-AGF的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）（图1）连接GE、GC
∵△PAD是等边三角形，G为PD边中点，∴AG⊥PD…（2分）
∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴CD⊥平面PAD…（4分）
∵AG⊆平面PAD，∴CD⊥AG，
∵CD、PD是平面PCD内的相交直线，∴AG⊥平面PCD，
∵CG⊆平面PCD，∴AG⊥CG…（6分）
∵△PAD中，E、G分别为PA、PD中点，∴GE∥AD且，
又∵矩形ABCD中，F为BC中点，∴CF∥AD且，
∴CF∥GE且CF=GE，可得四边形CFEG是平行四边形，CG∥EF…（8分）
∴AG⊥EF…（10分）
（Ⅱ）由（I）得CD⊥平面PAD，
∵BC∥AD，AD⊆平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD，
因此，点F到平面PAD的距离等于CD
∴三棱锥F-PAG的体积为：V=
所以多面体P-AGF的体积等于V_{三棱锥F-PAG}=…（14分）
分析：（Ⅰ）连接GE、GC，根据△PAD是等边三角形，得到中线AG⊥PD．而矩形ABCD中，CD⊥AD，结合平面PAD⊥平面ABCD，得到CD⊥平面PAD，从而有CD⊥AG．依据线面垂直的判定定理，得到AG⊥平面PCD，所以AG⊥CG．接下来证明四边形CFEG是平行四边形，得到CG∥EF，所以有AG⊥EF；
（II）由（I）得CD⊥平面PAD，且BC∥平面PAD，因此点F到平面PAD的距离等于CD．由此可得三棱锥F-PAG的体积V，即为多面体P-AGF的体积．
点评：本题给出的四棱锥的底面为矩形，有一侧面为正三角形且与底面垂直，证明了线线垂直并且求锥体的体积，着重考查了空间垂直位置关系的证明和多面体体积的计算等知识，属于中档题．