Question

设{a_n}是等差数列，a_n＞0，公差d≠0，求证：

an+1

+

an+4

＜

an+2

+

an+3

．

Answer 1

分析：本题是一个不等式证明题，由于本题条件较少，故可以用分析法进行证明，观察发现不等式两边都是正数，故可以用平分的逐步寻求不等式成立的条件．

解答：证明：∵{a_n}是等差数列，∴a_n+k=a_n+kd．    （2分）
要证

an+1

+

an+4

＜

an+2

+

an+3

，
只要证

an+d

+

an+4d

＜

an+2d

+

an+3d

，
只要证an+d+2

(an+d)(an+4d)

+an+4d＜an+2d+2

(an+2d)(an+3d)

+an+3d，
∵a_n＞0，∴只要证（a_n+d）（a_n+4d）＜（a_n+2d）（a_n+3d）（2分）
只要证a_n²+5da_n+4d²＜a_n²+5da_n+6d²，只要证d²＞0．    （2分）
∵已知d≠0，∴d²＞0成立，故

an+1

+

an+4

＜

an+2

+

an+3

．    （2分）

点评：本题考查分析法证明不等式，熟练掌握分析法的原理与做题格式是证明本题的关键，分析法适合于条件较少的不等式的证明，由于不等式证明在高考中弱化，分析法在高考试卷上出现的频率不高