Question

已知椭圆的右准线是x=1，倾斜角为交椭圆于A、B两点，AB的中点为
（I）求椭圆的方程；
（II）若P、Q是椭圆上满足，若直线OP、OQ的斜率分别为k_OP，k_OQ，求证：|k_OP•k_OQ|是定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由于直线AB的倾斜角为且过点，可得直线的方程为．代入椭圆方程，整理得，由AB的中点为可得a²=2b²．结合可求a，b，c，进而可求椭圆方程
（II）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）都在椭圆2x²+4y²=1上，由=，代入可求
解答：解：（I）由于直线AB的倾斜角为且过点，
所以直线的方程为．
代入椭圆方程，整理得，，
即a²=2b²．
又，联立a²=b²+c²，
求得．
所以椭圆方程为2x²+4y²=1．…（6分）
（II）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）都在椭圆2x²+4y²=1上，
由==．…（12分）
点评：本题主要考查了利用直线与圆锥曲线的位置关系的性质求解椭圆的方程，解题中要具备较强的计算能力与逻辑推理能力，主要考查了考试的计算能力．