Question

已知△ABC的一个顶点A（-1，-4），∠B、∠C的内角平分线所在直线的方程分别为l₁：y+1=0，l₂：x+y+1=0．
（Ⅰ）求BC边上的高所在直线的方程；
（Ⅱ）求△ABC的内切圆方程．

Answer 1

分析：（I）利用轴对称的知识建立关系式，解出点A关于直线l₁、l₂对称点A'、A″的坐标，再由直线方程的两点式列式，化简得到A'A″的方程x+2y-3=0，即为边BC所在直线的方程．再求出与BC垂直的直线的斜率，利用点斜式列式并化简，可得BC边上的高所在的直线的方程；
（II）根据题意，联解l₁、l₂的方程得到l₁、l₂的交点坐标，即为△ABC的内切圆的圆心．再由点到直线的距离公式求出圆心到BC边的距离，即为内切圆半径r，由此即可得到△ABC的内切圆方程．

解答：解：（I）设点A（-1，-4）关于直线y+1=0的对称点为A'（x₁，y₁），
可得x₁=-1，

1

2

（-4+y₁）=-1，解得y₁=2×（-1）-（-4）=2，
∴A'坐标为（-1，2），
再设点A（-1，-4）关于l₂：x+y+1=0的对称点为A″（x₂，y₂），
可得

y2+4 x2+1 •(-1)=-1 x2-1 2 + y2-4 2 +1=0

，
解之得x₂=3，y₂=0，
∴A″坐标（3，0），
∵∠B、∠C的内角平分线所在直线的方程分别为l₁：y+1=0，l₂：x+y+1=0，
∴点A'与点A″都在直线BC上，
根据直线方程的两点式，得直线A'A″的方程为

y-2

0-2

=

x+1

3+1

，
化简得x+2y-3=0，即为边BC所在直线的方程，
∵直线BC的斜率k=-

1

2

，
∴BC边上的高所在的直线的斜率为k'=

-1

k

=2，
∵A点坐标为（-1，-4），
∴BC边上的高所在的直线的方程为y+4=2（x+1），
化简得2x-y-2=0；
（ II）根据题意，可得△ABC的内角平分线l₁与l₂的交点即为△ABC的内切圆的圆心，
联解

y+1=0 x+y+1=0

，得

x=0 y=-1

，可得内切圆的圆心为（0，-1），
又∵圆心到直线BC的距离为半径，
∴内切圆的半径r=

|-2-3|

5

=

5

，
因此，△ABC的内切圆方程为x²+（y+1）²=5．

点评：本题给出三角形满足的条件，求直线BC的方程与BC边上高所在直线方程，并求三角形的内切圆方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．