Question

已知

a

=(1-cosx，2sin

x

2

)，

b

=(1+cosx，2cos

x

2

)，设f(x)=2+sinx-

1

4

|

a

-

b

|2
（1）若函数f（x）和函数g（x）的图象关于原点对称，求函数g（x）的解析式；
（2）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-

π

2

，

π

2

]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐标运算与三角函数间的关系式可求得f（x）=sin²x+2sinx，由f（x）和函数g（x）的图象关于原点对称，可求得函数g（x）的解析式；
（2）依题意可求得h（x）的解析式，利用h′（x）≥0在[-

π

2

，

π

2

]恒成立即可求得实数λ的取值范围．

解答：解：（1）∵

a

-

b

=（-2cosx，2sin

x

2

-2cos

x

2

），|

a

-

b

|=4cos²x+(2sin

x

2

-2cos

x

2

)2=4cos²x+4-4sinx，
∴f（x）=2+sinx-cos²x-1+sinx=sin²x+2sinx…（3分）
设（x，y）为g（x）图象上任意一点，则（-x，-y）为f（x）图象上的点，
∴-y=sin²（-x）+2sin（-x）=sin²x-2sinx，
∴y=-sin²x+2sinx即g（x）=-sin²x+2sinx…（6分）
（2）h（x）=-sin²x+2sinx-λ（sin²x+2sinx）+1
=（-1-λ）sin²x+（2-2λ）sinx+1，…（8分）
h'（x）=-2（1+λ）sinxcosx+（2-2λ）cosx，
∵h（x）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函数
∴h′（x）≥0在[-

π

2

，

π

2

]恒成立，
即-2（1+λ）sinxcosx+（2-2λ）cosx≥0，当x=±

π

2

时，不等式恒成立
当x∈（-

π

2

，

π

2

）时，cosx＞0，
∴-2（1+λ）sinx+2-2λ≥0即λ≤

1-sinx

1+sinx

=-1+

2

1+sinx

，…（10分）
∵sinx∈（-1，1）
∴-1+

2

1+sinx

∈（0，+∞），
∴λ≤0   …（12分）

点评：本题考查向量的坐标运算与三角函数间的关系式，考查三角函数的最值，考查导数在研究函数单调性与最值中的应用，综合性强，难度大，属于难题．