Question

已知函数为常数)是实数集上的奇函数,函数，使在区间上是减函数的的取值的集合为.

(Ⅰ)求实数的值;

(Ⅱ) 对及，恒成立,求实数的最大值;

(Ⅲ)若关于的方程有且只有一个实数根,求的值.

Answer 1

解:(Ⅰ)是实数集上奇函数,

,即 .

将带入,显然为奇函数    …………………………………3分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

要使是区间上的减函数,则有在恒成立,,所以                ………………………………5分

要使在上恒成立,

只需在时恒成立即可.

(其中)恒成立即可  

令,则即

,所以实数的最大值为        ………………………………8分

(Ⅲ)由(Ⅰ)知方程,即,

令 ，

当时,在上为增函数;

当时,在上为减函数;

当时,        ……………………………………………………11分

而

当时是减函数,当时,是增函数,

当时,     ……………………………………………13分

只有当,即时,方程有且只有一个实数根。  ……………14分