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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    随机变量X的分布列如下表如示，若数列{pn}是以p1为首项，以q为公比的等比数列，则称随机变量X服从等比分布，记为Q（p1，q）．现随机变量X∽Q（
    1
    63
    ，2）．
    X 1 2 … n
    P p1 p2 … pn
    （Ⅰ）求n 的值并求随机变量X的数学期望EX；
    （Ⅱ）一个盒子里装有标号为1，2，…，n且质地相同的标签若干张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X．现有放回的从中每次抽取一张，共抽取三次，求恰好2次取得标签的标号不大于3的概率．
    分析：（Ⅰ）依题意得求出和的表达式进而解得n=6，所以可得X的分布列，求出随机变量X的期望，利用数列的有关知识求和即可得到答案．
    （Ⅱ）由（Ⅰ）中随机变量X的分布列可得随机抽取一次取得标签的标号不大于3的概率，进而根据独立重复试验的公式可得答案．
    解答：解：（Ⅰ）依题意得，数列{pn}是以
    1
    63
    为首项，以2为公比的等比数列，
    所以Sn=p1+p2+…+pn=
    1
    63
    (1-2n)
    1-2
    =1（1分）
    解得n=6．（3分）
    所以可得X的分布列为：
    X 1 2 3 4 5 6
    P
    1
    63
    2
    63
    4
    63
    8
    63
    16
    63
    32
    63
    所以EX=1•p1+2•p2+…+6p6=1•
    1
    63
    +2•
    22
    63
    +…+6•
    25
    63

    =
    1
    63
    (1•20+2•21+…+6•25)    （4分）
    所以2EX=
    1
    63
    (1•21+2•22+…+6•26)    （5分）
    两式相减得EX=
    1
    63
    [6•26-(25+24+23+22+21+20)]    （6分）
    =
    1
    63
    [6•26-
    26-1
    2-1
    ]=
    1
    63
    (5•26+1)=
    321
    63
    =
    107
    21
    ，（7分）
    所以随机变量X的数学期望EX
    107
    21
    ．
    （Ⅱ）由（Ⅰ）中随机变量X的分布列可得：
    随机抽取一次取得标签的标号不大于3的概率为
    1
    63
    +
    2
    63
    +
    4
    63
    =
    1
    9
    （10分）
    所以恰好2次取得标签的标号小于3的概率为
    C
    2
    3
    •(
    1
    9
    )    2    •(1-
    1
    9
    )    =
    8
    243
    （13分）
    点评：解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的期望与方差，以及利用错位相减法求数列的和．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知离散型随机变量X的分布列如表．若EX=0，DX=1，则a=
     
    ，b=
     
    ．
    X -1 0 1 2
    P a b c
    1
    12

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知随机变量X的分布列如图：其中m，n∈[0，1），且E（X）=
    1
    6
    ，则m，n的值分别为（　　）
    A、
    1
    12
    ，
    1
    2
    B、
    1
    6
    ，
    1
    6
    C、
    1
    4
    ，
    1
    3
    D、
    1
    3
    ，
    1
    4

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    已知随机变量X的分布列如图，若EX=3，则b=
     
    ．
    X B 2 4
    P a
    1
    4
    1
    4

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知离散型随机变量X 的分布列如右图．若E（X）=0，D（X）=1，则a、b、c的值依次为
    5
    12
    ，
    1
    4
    ，
    1
    4
    5
    12
    ，
    1
    4
    ，
    1
    4
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知离散型随机变量x的分布列如右表．若Eξ=0，Dξ=1，则符合条件的一组数（a，b，c）=
     
    ．

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