Question

已知函数f（x）=sin²x+acosx-2a，对任意x∈R，都有f（x）＜-2恒成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：函数f（x）=-cosx²+acosx+1-2a，令t=cosx∈[-1，1]，则有f（x）=-t²+at+1-2a＜-2恒成立，即 t²-at+2a-3＞0 恒成立．令g（t）=t²-at+2a-3，它的对称轴为t=

a

2

．再利用二次函数的性质分类讨论求得a的范围．

解答： 解：∵函数f（x）=sin²x+acosx-2a=-cosx²+acosx+1-2a，对任意x∈R，都有f（x）＜-2恒成立，
令t=cosx∈[-1，1]，则有f（x）=-t²+at+1-2a＜-2恒成立，即 t²-at+2a-3＞0 恒成立．
令g（t）=t²-at+2a-3，它的对称轴为t=

a

2

．
故有

a 2 ≤-1 g(-1)=3a-2＞0

 ①，或

-1＜ a 2 ＜1 4(2a-3)-a2 4 ＞0

 ②，或

a 2 ≥1 g(1)=a-2＞0

 ③．
解①求得a∈∅，解②求得a∈∅，解③求得a＞2．
综上可得，a的范围是（2，+∞），
故答案为：（2，+∞）．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二次函数的性质应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．