Question

已知数列{a_n}满足a₁=a，．
（Ⅰ）试判断数列是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项a_n．
（Ⅱ）如果a=1时，数列{a_n}的前n项和为S_n．试求出S_n，并证明（n≥3）．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵=，
∴．
令，则b_n+1=2b_n． …2分
∵，
∴当a=-2时，b₁=0，则b_n=0．
∵数列{0}不是等比数列．
∴当a=-2时，数列不是等比数列．…4分
当a≠-2时，b₁≠0，则数列是等比数列，且公比为2．
∴b_n=b₁•2^n-1，
即．
解得． …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=1时，a_n=（2n+1）•2^n-1-2，
S_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1-2n．
令T_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1，…①
则2T_n=3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，…②
由①-②：-T_n=3+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n+1）•2ⁿ
=
=（1-2n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ+1，…9分
则S_n=T_n-2n=（2n-1）（2ⁿ-1）． …10分
∵2ⁿ=C_n⁰+C_n¹+…+C_n^n-1+C_nⁿ，
∴当n≥3时，2ⁿ≥C_n⁰+C_n¹+C_n^n-1+C_nⁿ=2（n+1），则2ⁿ-1≥2n+1．…12分
∴S_n≥（2n-1）（2n+1），
则．…13分
因此，=． …14分．
分析：（Ⅰ）由=，知．令，则b_n+1=2b_n．由此能够求出．
（Ⅱ）当a=1时，a_n=（2n+1）•2^n-1-2，S_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1-2n．令T_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1，则2T_n=3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，再由错位相减法和裂项求和法进行求解．
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意错位相减法和裂项求和法的灵活运用．