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在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的正三角形底铁皮箱,当箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?

【答案】分析:设箱底边长为x,根据已知中箱子的制作方法,我们可求出容积V(x)的解析式,求出其导函数,分析其单调性,可得到函数的最值点,代入可得答案.
解答:解:设箱底边长为x,则箱高为h=×(0<x<a),…(2分)
箱子的容积为V(x)==(0<x<a),.              …(6分)
由V′(x)==0解得x=0(舍),x=,…(8分)
且当x∈(0,)时,V′(x)>0;当x∈(,a)时,V′(x)<0,
所以函数V(x)在x=处取得极大值,…(10分)
这个极大值就是函数V(x)的最大值:V()==.…(12分)
答:当箱子底边长为时,箱子容积最大,最大值为.                …(14分)
点评:本题考查的知识点是棱柱的体积,导数法求最值,其中根据已知求出容积V(x)的解析式,是解答的关键.
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我们知道,在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值
3
a
2
,类比上述结论,在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值
6
a
3
6
a
3

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