Question

已知数列{a_n}是等比数列，a₁=2，a₃=18．数列{b_n}是等差数列，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃＞20．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2，Q_n=b₁₀+b₁₂+b₁₄+…+b_2n+8，其中n=1，2，3，…．试比较P_n与Q_n的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由等比数列通项公式，结合题意算出数列{a_n}的公比q=±3．讨论可得当q=-3时与题意矛盾，故q=3可得a_n=2×3^n-1．由此得到{b_n}的前4项和等于a₁+a₂+a₃=26，利用等差数列的通项公式算出公差d=3，得b_n=3n-1；
（2）根据等差数列的性质，可得b₁，b₄，b₇，…，b_3n-2和b₁₀，b₁₂，b₁₄，…，b_2n+8分别组成以3d、2d为公差的等差数列，由等差数列求和公式算出P_n=

9

2

n²-

5

2

n、Q_n=3n²+26n．作差后，因式分解得P_n-Q_n=

3

2

n（n-19），结合n为正整数加以讨论，即可得到P_n与Q_n的大小关系，从而使本题得到解决．

解答：解：（1）设{a_n}的公比为q，由a₃=a₁q²得q²=

a3

a1

=9，q=±3．
①当q=-3时，a₁+a₂+a₃=2-6+18=14＜20，
这与a₁+a₂+a₃＞20矛盾，故舍去．
②当q=3时，a₁+a₂+a₃=2+6+18=26＞20，故符合题意．
∴a_n=a₁q^n-1=2×3^n-1
设数列{b_n}的公差为d，由b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃=26，
得4b₁+

4×3

2

d=26，结合b₁=2，解之得d=3，
所以b_n=b_n+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1
综上所述，数列{a_n}，{b_n}的通项公式分别为a_n=2×3^n-1、b_n=3n-1；
（2）∵b₁，b₄，b₇，…，b_3n-2组成以3d为公差的等差数列，
∴P_n=nb₁+

n(n-1)

2

•3d=

9

2

n²-

5

2

n；
同理可得：b₁₀，b₁₂，b₁₄，…，b_2n+8组成以2d为公差的等差数列，且b₁₀=29，
∴Q_n=nb₁₀+

n(n-1)

2

•2d=3n²+26n．
因此，P_n-Q_n=（

9

2

n²-

5

2

n）-（3n²+26n）=

3

2

n（n-19）．
所以对于正整数n，当n≥20时，P_n＞Q_n；当n=19时，P_n=Q_n；当n≤18时，P_n＜Q_n．

点评：本题给出等差数列与等比数列满足的关系式，求它们的通项公式，并比较两个和式的大小．着重考查了等差数列、等比数列的通项公式与求和公式、利用作差法比较两个式子的大小等知识，属于中档题．