Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（m，cos2x），

b

=（1+sin2x，1），x∈R，且函数y=f（x）的图象经过点（

π

4

，2）．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及此时x的值的集合；
（Ⅲ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先根据

a

和

b

求得函数f（x）的解析式，进而把点（

π

4

，2）代入即可求得m．
（2）把m的值代入函数解析式，利用两角和公式化简整理后，利用三角函数的性质能求得函数取最小值时x的值的集合．
（3）根据整理出来的函数的表达式，利用正弦函数的单调性可求得函数的单调递区间．

解答：解：（1）f（x）=a•b=m（1+sin2x）+cos2x，
∵图象经过点（

π

4

，2），
∴f（

π

4

）=m（1+sin

π

2

）+cos

π

2

=2，解得m=1；
（2）当m=1时，f（x）=1+sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴f(x)min=1-

2

，
此时2x+

π

4

=-

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得函数f（x）的最小值时x的值的集合{x=-

3π

8

+kπ，k∈Z}．
（3）函数的增区间：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
由此解得函数的增区间为：[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z．
函数的减区间：

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z．
由此解得函数的减区间：[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]，k∈Z．

点评：本题主要考查了三角函数周期性及其求法，三角函数的公式变形，基本运算，和三角函数的图象及其性质，考查面比较广，是一道好题．